Movimentação média parâmetros estimativa

Um novo método para a estimação de parâmetros de média móvel Stoica, P. Du, L. Li, J. amp Georgiou, T. (2010). Um novo método para a estimativa de parâmetros de média móvel. Em Conference Record - Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores (pp. 1817-1820). 5757855 DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Um novo método para a estimação de parâmetros de média móvel. Stoica, Petre Du, Li Lin, Jian Georgiou, Tryphon. Conference Record - Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores. 2010. p. 1817-1820 5757855. Resultados da pesquisa. Capítulo em BookReportConference processo Contribuição de conferência Stoica, P, Du, L, Li, J amp Georgiou, T 2010, Um novo método para a estimação de parâmetro de média móvel. Em Conference Record - Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores. . 1817-1820, 44ª Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores, Asilomar 2010, Pacific Grove, CA, Estados Unidos, 7-10 de novembro. DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Stoica P, Du L, Li J, Georgiou T. Um novo método para a estimação de parâmetros de média móvel. Em Conference Record - Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores. 2010. p. 1817-1820. 5757855. Disponível a partir, DOI: 10.1109ACSSC.2010.5757855 Stoica, Petre Du, Li Li, Jian Georgiou, Tryphon Um novo método para a estimação de parâmetros de média móvel. Conference Record - Conferência Asilomar sobre Sinais, Sistemas e Computadores. 2010. p. 1817-1820 5757855. Resultados da pesquisa. Chapter in BookReportConference proceeding Título de contribuição da conferência Um novo método para estimativa de parâmetros de média móvel, por P. M. T. Broersen - IEEE Trans. Instrum. Med. 2002. Abstrato. O aumento da velocidade computacional e os desenvolvimentos na robustez dos algoritmos criaram a possibilidade de identificar automaticamente um modelo bem ajustado de séries temporais para dados estocásticos. É possível calcular mais de 500 modelos e selecionar apenas um, que certamente é um de t. Abstrato. O aumento da velocidade computacional e os desenvolvimentos na robustez dos algoritmos criaram a possibilidade de identificar automaticamente um modelo bem ajustado de séries temporais para dados estocásticos. É possível calcular mais de 500 modelos e selecionar apenas um, que certamente é um dos melhores modelos, se não o melhor. Esse modelo caracteriza a densidade espectral dos dados. Modelos de séries temporais são excelentes para dados aleatórios se o tipo de modelo ea ordem do modelo forem conhecidos. Para características de dados desconhecidos, um grande número de modelos candidatos tem de ser calculado. Isto necessariamente inclui ordens de modelo muito baixas ou muito altas e modelos dos tipos errados, exigindo métodos de estimação robustos. O computador seleciona uma ordem de modelo para cada um dos três tipos de modelo. A partir desses três, o tipo de modelo com a menor expectativa do erro de previsão é selecionado. Esse modelo selecionado exclusivo inclui precisamente os detalhes estatisticamente significativos que estão presentes nos dados. 1 factor de penetração assintótica óptima 3 (Broersen, 2000b Broersen e Wensink, 1996). 6.2 MA estimativa método Durbins para MA estimativas garante a invertibilidade com todos os zeros dentro do círculo unidade (-Durbin, 1959--). Teoricamente, um modelo MA (q) é equivalente a um modelo AR (), usando B (z) 1A (z). O método de Durbins utiliza os parâmetros estimados de um modelo de AR longo para aproximar o modelo de MA. Claro, o. Por P. M. T. Broersen - IEEE Trans. Em Instrumentação e Medição. 2000. Abstract Esta análise é limitada à análise espectral de processos estocásticos estacionários com densidade espectral desconhecida. Os principais métodos de estimação espectral são: paramétricos com modelos de séries temporais, ou não paramétricos com periodograma com janelas. Um único modelo de séries temporais será escolhido com um st. Abstract Esta análise é limitada à análise espectral de processos estocásticos estacionários com densidade espectral desconhecida. Os principais métodos de estimação espectral são: paramétricos com modelos de séries temporais, ou não paramétricos com periodograma com janelas. Um único modelo de séries temporais será escolhido com um critério estatístico a partir de três modelos previamente estimados e selecionados: o melhor modelo autorregressivo (AR), o melhor modelo de média móvel (MA) eo melhor modelo ARMA combinado. A precisão do espectro, calculada a partir deste único modelo de séries temporais selecionado, é comparada com a precisão de algumas estimativas de periodograma com janelas. O modelo de séries temporais geralmente dá um espectro que é melhor do que o melhor periodograma janela possível. É um facto que um único modelo de série temporal bom pode ser seleccionado automaticamente para dados estatísticos com densidade espectral desconhecida. É uma ficção que as escolhas objetivas entre periodograms windowed podem ser feitas. Índice Modelos ARMA, identificação, seleção de ordem, espectro paramétrico, precisão espectral, estimativa espectral, séries temporais. Foram formulados para algoritmos MA e ARMA específicos. Porém, após a descoberta do comprimento ótimo do modelo intermediário autorregressivo longo 15, 16, pode-se dar preferência aos métodos de Durbins -17--, 18. Este artigo trata de processos estocásticos estacionários com espectros desconhecidos, não com sinais determinísticos ou periódicos para Manuscrito recebido em 26 de maio de 1998 revisado em 10 de março de 2000. O autor. Por P. M. T. Broersen - em Signal Process. VIII, Proc. Eusipco Conf. 1996. O método Durbinaposs para estimativa de Moving Average (MA) usa os parâmetros estimados de um modelo AutoRegressive (AR) longo para calcular os parâmetros MA desejados. Uma ordem teórica para esse modelo de AR longo é, mas ordens de AR muito elevadas levam a modelos de MA imprecisos na prática de amostra finita. Um novo t. O método de Durbinampaposs para estimativa de Moving Average (MA) usa os parâmetros estimados de um modelo AutoRegressive (AR) longo para calcular os parâmetros MA desejados. Uma ordem teórica para esse modelo de AR longo é, mas ordens de AR muito elevadas levam a modelos de MA imprecisos na prática de amostra finita. Um novo argumento teórico é apresentado para derivar uma expressão para a melhor ordem de AR finito longo para um processo MA conhecido e um tamanho de amostra dado. Intermediário AR modelos de precisamente que a ordem produzir os modelos mais precisos MA. Esta nova ordem difere da melhor ordem AR para ser usada para previsão. Um algoritmo é apresentado que permite o uso da teoria para a melhor ordem longa de AR em processos conhecidos para dados de um processo desconhecido. I. teoria para o melhor longo AR ordem em processos conhecidos para dados de um processo desconhecido. I. INTRODUÇÃO Na busca de uma solução segura, robusta e prática para o problema de estimação MA, o método de Durbin039s -1-- é promissor. Um problema de estimação não linear é substituído por dois estágios de estimativa linear. Em primeiro lugar, os parâmetros de um modelo autorregressivo longo são estimados a partir dos dados. Depois, um segundo p. Por Jorge Mari, Anders Dahln, Anders Lindquist - Automatica J. IFAC. 1998. Neste artigo, consideramos um procedimento de três etapas para identificação de timeseries, baseado na extensão de covariância e na redução do modelo, e apresentamos uma análise completa das suas propriedades de convergência estatística. Uma seqüência de covariância parcial é estimada a partir de dados estatísticos. Em seguida, uma máxima de alta ordem. Neste artigo, consideramos um procedimento de três etapas para identificação de timeseries, baseado na extensão de covariância e na redução do modelo, e apresentamos uma análise completa das suas propriedades de convergência estatística. Uma seqüência de covariância parcial é estimada a partir de dados estatísticos. Em seguida, é determinado um modelo de entropia máxima de alta ordem, que é finalmente aproximado por um modelo de ordem inferior por redução de modelo estocástica. Tais procedimentos foram estudados antes, em várias combinações, mas uma análise de convergência geral que compreende os três passos tem faltado. Supondo que os dados são gerados a partir de um verdadeiro sistema finito dimensional que é fase mínima, é mostrado que a função de transferência do sistema estimado tende em H à função de transferência verdadeira como o comprimento de dados tende a infinito, se a extensão de covariância ea redução do modelo for feita devidamente. O procedimento de identificação proposto, e algumas variações dele, são avaliados por simulações. 1. traçado de volta para a decomposição de Wold 55 onde L 2 - convergência de modelos de AR de alta ordem para modelos analíticos gerais é mostrado. Pioneiros no uso deste conceito para identificação de sistemas são Durbin-12, 13-- e Whittle 54.The As propriedades de convergência de tais aproximações foram estudadas por Berk 2 e posteriormente refinadas em 36, 34, 33, 7. O interessante artigo 7 contém provas agradáveis ​​de algumas das convergências. Por P. M. T. Broersen, S. De Waele - Proc. 2º IEEE Benelux Signal Proc. Symp. SPS-2000. 2000. RESUMO: A estimativa de máxima verossimilhança (ML) maximiza a função de verossimilhança e é um princípio célebre na análise de regressão linear. Assintótica - mente, o limite inferior de Cramr-Rao para a matriz de covariância de parâmetros estimados não estimados é atingido pelo estimador de máxima verossimilhança. Com asymp. RESUMO: A estimativa de máxima verossimilhança (ML) maximiza a função de verossimilhança e é um princípio célebre na análise de regressão linear. Assintótica - mente, o limite inferior de Cramr-Rao para a matriz de covariância de parâmetros estimados não estimados é atingido pelo estimador de máxima verossimilhança. Com argumentos assintóticos, provou-se que este princípio também pode ser aplicado à auto-regressão e aos modelos de média móvel autorregressiva mais geral (ARMA) na análise de séries temporais. Pelo menos é sugerido nos manuais que uma aproximação mais próxima da verossimilhança exata na maximização produzirá uma melhor estimativa para os modelos de séries temporais. Em contraste, a prática de amostra finita muitas vezes mostra de forma diferente. Alguns fatos finitos e suas implicações na estimação são discutidos. Como inovações pré-amostra inicial e mínimos quadrados incondicionais (ULS) usando backforecasting para aproximações pré-amostra 3,20 Usando uma estimativa de covariância longa 5,18,21 Usando um longo AR modelo -19,23-- como intermediário. A função de verossimilhança é simétrica para zeros espelhada em relação ao círculo unitário, de modo que os zeros espelhados obtidos com ML não têm objeções 24. Soluções de mínimos quadrados CLS e U. por Joseph M. Francos, Benjamin Friedlander. Este artigo considera o problema de estimar os parâmetros de campos aleatórios de média móvel bidimensional. Em primeiro lugar, abordamos o problema de expressar a matriz de covariância de campos aleatórios médios, não-simétricos, semi-planos, não causais e de quarto planos, em termos dos parâmetros do modelo. Este artigo considera o problema de estimar os parâmetros de campos aleatórios de média móvel bidimensional. Em primeiro lugar, abordamos o problema de expressar a matriz de covariância de campos aleatórios médios, não-simétricos, semi-planos, não causais e de quarto planos, em termos dos parâmetros do modelo. Assumindo que o campo aleatório é gaussiano, derivamos uma expressão de forma fechada para o limite inferior de Cramer-Rao na variância de erro na estimativa conjunta dos parâmetros do modelo. Um algoritmo computacionalmente eficiente para estimar os parâmetros do modelo de média móvel é desenvolvido. O algoritmo inicialmente ajusta um modelo autorregressivo bidimensional ao campo observado, então usa os parâmetros estimados para calcular o modelo de média móvel. Um algoritmo de máxima verossimilhança para estimar os parâmetros do modelo MA também é apresentado. O desempenho dos algoritmos propostos é ilustrado por simulações de Monte-Carlo, e é comparado com o limite de Cramer-Rao. Por P. M. T. Broersen - Processos, Processamento de Sinal IX, Proc. Eusipco Conf. Rhodes, Greece. 1998. Novos desenvolvimentos na análise de séries temporais podem ser usados ​​para determinar uma melhor representação espectral para dados desconhecidos. Qualquer processo estacionário pode ser modelado com precisão com um dos três tipos de modelo: AR (autorregressivo), MA (média móvel) ou o modelo combinado ARMA. Geralmente, o melhor tipo é un. Novos desenvolvimentos na análise de séries temporais podem ser usados ​​para determinar uma melhor representação espectral para dados desconhecidos. Qualquer processo estacionário pode ser modelado com precisão com um dos três tipos de modelo: AR (autorregressivo), MA (média móvel) ou o modelo combinado ARMA. Geralmente, o melhor tipo é desconhecido. No entanto, se os três modelos são estimados com métodos adequados, um único modelo de série temporal pode ser escolhido automaticamente na prática. A precisão do espectro, calculada a partir deste único modelo de séries temporais AR-MA, é comparada com a precisão de muitas estimativas de periodograma cônico e com janelas. O modelo de séries temporais normalmente dá um espectro que é melhor do que o melhor de todas as estimativas periodograma. 1. Se forem considerados modelos de altas encomendas. Para os modelos MA e ARMA, um novo desenvolvimento na análise de séries temporais foi necessário para ter algoritmos de estimação confiáveis ​​que funcionem bem para todos os tamanhos de amostra - 7,8,9,10 -. Essa é a descoberta do comprimento ótimo do modelo intermediário autorregressivo longo para os métodos de Durbins 7,8. Esse longo modelo AR é usado para determinar os parâmetros MA. Com uma janela deslizante. Por Piet M. T. Broersen, S. De Waele - IEEE Trans. Instrum. Meas. 2000. Um novo método para a extração de características de processos estocásticos estacionários foi aplicado a um problema de detecção médica. Ele ilustra uma aplicação prática da modelagem automática de séries temporais. Em primeiro lugar, o tipo de modelo ea ordem do modelo para dois modelos de protótipos de séries temporais são se. Um novo método para a extração de características de processos estocásticos estacionários foi aplicado a um problema de detecção médica. Ele ilustra uma aplicação prática da modelagem automática de séries temporais. Em primeiro lugar, são selecionados o tipo de modelo ea ordem do modelo para dois modelos de protótipos de séries temporais. Os protótipos representam os ruídos pulmonares de um único indivíduo saudável, antes e depois da aplicação de metacolina. Usando o erro de modelo ME como uma medida para a diferença entre modelos de séries temporais, os novos dados podem ser divididos em classes que pertencem aos modelos de protótipo para essa pessoa. Os protótipos são obtidos a partir de alguns ciclos de expiração em condições conhecidas. Isto é suficiente para detectar a presença de metacolina em novos dados do mesmo sujeito se ele é capaz de manter condições estacionárias seguindo com precisão o padrão respiratório prescrito. Não é necessário usar o mesmo tipo de modelo ea mesma ordem de modelo para os protótipos e para novos dados. Automática e individualmente selecionados modelos para protótipos e dados dar uma boa detecção de metacolina. Índice TermosDetecção, erro de modelo, erro de predição, modelo de protótipo, estimativa espectral. I. nt, o Critério de Informações Combinadas CIC baseia-se na expectativa e na variância do logaritmo da variância residual, em função da ordem de modelo 11. O método de Durbins para MA-12 - e para a estimativa de ARMA 13 Da utilização dos parâmetros de um modelo autorregressivo intermediário longo para calcular os parâmetros MA. Desta forma, estimativa não linear é aproximada por uma seqüência. Por Jan S. Erkelens, Arturo Tejada, Arnold J. Den Dekker - Transações IEEE em Instrumentação e Medição. 2017. Resumo Três modelos paramétricos importantes para descrever as funções de correlação e os espectros de processos estocásticos estacionários são a média autorregressiva (AR), média móvel (MA) e média autorregressiva (ARMA). Muito recentemente, a caixa de ferramentas MATLAB ARMASA foi feita publicamente. Resumo Três modelos paramétricos importantes para descrever as funções de correlação e os espectros de processos estocásticos estacionários são a média autorregressiva (AR), média móvel (MA) e média autorregressiva (ARMA). Recentemente, a caixa de ferramentas MATLAB ARMASA foi disponibilizada publicamente. Esta caixa de ferramentas fornece algoritmos state-of-the-art para realizar a identificação automática e seleção entre os mod-els com base no erro de previsão estimado. ARMASA funciona em um único segmento de dados, enquanto em algumas aplicações, os dados estão disponíveis como segmentos múltiplos. Poderíamos processar cada segmento independentemente e, em média, estimar as funções ou os espectros de autocorrelação estimados. Contudo, pode-se esperar um melhor desempenho quando todos os segmentos são processados ​​simultaneamente, por duas razões. Inicialmente, o viés nos parâmetros estimados do modelo depende do número de observações em um segmento. Variação média média para todas as ordens de modelo de interesse. Os resíduos são estimativas das inovações (n) em (1) e podem ser encontradas substituindo os parâmetros estimados do modelo. Os detalhes podem ser encontrados em 2, -19-- e 20. Os algoritmos para identificação de modelo AR, MA e ARMA implementados na caixa de ferramentas ARMASA serão agora delineados. III. IDENTIFICAÇÃO DO MODELO EM ARMASA A. Identificação do Modelo AR O resíduo. Por Piet Broersen, Stijn De Waele. Um periodograma com janelas e cônicos pode ser computado como a transformada de Fourier de uma função de covariância estimada de dados cônicos, multiplicada por uma janela de atraso. As covariâncias de comprimento finito também podem ser modeladas como modelos de séries temporais de média móvel (MA). A equivalência direta entre periodogramas e MA. Um periodograma com janelas e cônicos pode ser computado como a transformada de Fourier de uma função de covariância estimada de dados cônicos, multiplicada por uma janela de atraso. As covariâncias de comprimento finito também podem ser modeladas como modelos de séries temporais de média móvel (MA). A equivalência direta entre periodogramas e modelos MA é mostrada no método de momentos para a estimação MA. Uma melhor representação de MA para a covariância ea densidade espectral é encontrada com o método MA de Durbinampaposs melhorado. Isso usa os parâmetros de um longo autorregressivo (AR) modelo para encontrar MA modelos, seguido de seleção automática da ordem MA. Faz-se uma comparação entre os dois tipos de modelo MA. O melhor de muitos modelos de MA de periodogramas com janelas é comparado com o único modelo de MA selecionado obtido com o método de Durbinampaposs. Este último tipicamente tem uma qualidade melhor. Palavras-chave: estimação espectral, seleção de ordem, distância espectral, janela espectral, erro espectral 1. INTRODUÇÃO Análise de séries temporais ou estimativa espectral paramétrica. A representação da covariância não é um estimador suficiente para os parâmetros MA. Existe um algoritmo de MA robusto que estima o modelo diretamente a partir de um modelo de AR longo dos dados. Durbin039s método -6-- nunca tem problemas com a convergência. Estima-se que os modelos sempre invertible usando os parâmetros de um modelo autorregressivo longo em um procedimento de estimação de MA linear invertible modelos têm todos os zeros. Em prática a média móvel fornecerá uma boa estimativa da média da série temporal se a média é constante ou lentamente Mudando. No caso de uma média constante, o maior valor de m dará as melhores estimativas da média subjacente. Um período de observação mais longo medirá os efeitos da variabilidade. A finalidade de fornecer um m menor é permitir que a previsão responda a uma mudança no processo subjacente. Para ilustrar, propomos um conjunto de dados que incorpora mudanças na média subjacente das séries temporais. A figura mostra a série de tempo usada para ilustração juntamente com a demanda média a partir da qual a série foi gerada. A média começa como uma constante em 10. Começando no tempo 21, ele aumenta em uma unidade em cada período até atingir o valor de 20 no tempo 30. Então ele se torna constante novamente. Os dados são simulados adicionando à média um ruído aleatório de uma distribuição Normal com média zero e desvio padrão 3. Os resultados da simulação são arredondados para o inteiro mais próximo. A tabela mostra as observações simuladas usadas para o exemplo. Quando usamos a tabela, devemos lembrar que a qualquer momento, apenas os dados passados ​​são conhecidos. As estimativas do parâmetro do modelo,, para três valores diferentes de m são mostradas juntamente com a média das séries temporais na figura abaixo. A figura mostra a estimativa média móvel da média em cada momento e não a previsão. As previsões mudariam as curvas de média móvel para a direita por períodos. Uma conclusão é imediatamente aparente a partir da figura. Para as três estimativas, a média móvel está aquém da tendência linear, com o atraso aumentando com m. O atraso é a distância entre o modelo ea estimativa na dimensão temporal. Devido ao atraso, a média móvel subestima as observações à medida que a média está aumentando. O viés do estimador é a diferença em um tempo específico no valor médio do modelo eo valor médio predito pela média móvel. O viés quando a média está aumentando é negativo. Para uma média decrescente, o viés é positivo. O atraso no tempo eo viés introduzido na estimativa são funções de m. Quanto maior o valor de m. Maior será a magnitude do atraso e do viés. Para uma série continuamente crescente com tendência a. Os valores de lag e viés do estimador da média são dados nas equações abaixo. As curvas de exemplo não correspondem a essas equações porque o modelo de exemplo não está aumentando continuamente, em vez disso, ele começa como uma constante, muda para uma tendência e, em seguida, torna-se constante novamente. Também as curvas de exemplo são afetadas pelo ruído. A previsão média móvel de períodos no futuro é representada deslocando as curvas para a direita. O atraso e o viés aumentam proporcionalmente. As equações abaixo indicam o atraso e o viés de um período de previsão para o futuro quando comparado aos parâmetros do modelo. Novamente, estas fórmulas são para uma série de tempo com uma tendência linear constante. Não devemos nos surpreender com esse resultado. O estimador da média móvel é baseado no pressuposto de uma média constante, eo exemplo tem uma tendência linear na média durante uma porção do período de estudo. Como as séries de tempo real raramente obedecerão exatamente aos pressupostos de qualquer modelo, devemos estar preparados para tais resultados. Podemos também concluir a partir da figura que a variabilidade do ruído tem o maior efeito para m menor. A estimativa é muito mais volátil para a média móvel de 5 do que a média móvel de 20. Temos os desejos conflitantes de aumentar m para reduzir o efeito da variabilidade devido ao ruído e diminuir m para fazer a previsão mais sensível às mudanças Em média. O erro é a diferença entre os dados reais e o valor previsto. Se a série temporal é verdadeiramente um valor constante, o valor esperado do erro é zero ea variância do erro é composta por um termo que é uma função de e um segundo termo que é a variância do ruído,. O primeiro termo é a variância da média estimada com uma amostra de m observações, assumindo que os dados provêm de uma população com média constante. Este termo é minimizado tornando m o maior possível. Um grande m faz com que a previsão não responda a uma mudança nas séries temporais subjacentes. Para tornar a previsão responsiva às mudanças, queremos que m seja o menor possível (1), mas isso aumenta a variância do erro. A previsão prática requer um valor intermediário. Previsão com o Excel O suplemento de Previsão implementa as fórmulas de média móvel. O exemplo abaixo mostra a análise fornecida pelo add-in para os dados da amostra na coluna B. As primeiras 10 observações são indexadas -9 a 0. Em comparação com a tabela acima, os índices de período são deslocados por -10. As primeiras dez observações fornecem os valores de inicialização para a estimativa e são usadas para calcular a média móvel para o período 0. A coluna MA (10) (C) mostra as médias móveis calculadas. O parâmetro de média móvel m está na célula C3. A coluna Fore (1) (D) mostra uma previsão para um período no futuro. O intervalo de previsão está na célula D3. Quando o intervalo de previsão é alterado para um número maior, os números na coluna Fore são deslocados para baixo. A coluna Err (1) (E) mostra a diferença entre a observação e a previsão. Por exemplo, a observação no tempo 1 é 6. O valor previsto a partir da média móvel no tempo 0 é 11.1. O erro é então -5.1. O desvio padrão eo desvio médio médio (MAD) são calculados nas células E6 e E7, respectivamente.8.4 Modelos de média móvel Em vez de usar valores passados ​​da variável de previsão em uma regressão, um modelo de média móvel usa erros de previsão passados ​​em um modelo de regressão . Y e teta teta e dots theta e, onde et é ruído branco. Referimo-nos a isto como um modelo MA (q). Evidentemente, não observamos os valores de et, então não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada valor de yt pode ser considerado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão. No entanto, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com o alisamento médio móvel discutido no Capítulo 6. Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros enquanto o alisamento médio móvel é usado para estimar o ciclo tendencial de valores passados. Figura 8.6: Dois exemplos de dados de modelos de média móvel com diferentes parâmetros. Esquerda: MA (1) com y t 20e t 0,8e t-1. Direita: MA (2) com y t e t - e t-1 0,8e t-2. Em ambos os casos, e t é normalmente distribuído ruído branco com média zero e variância um. A Figura 8.6 mostra alguns dados de um modelo MA (1) e um modelo MA (2). Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais. Tal como acontece com modelos autorregressivos, a variância do termo de erro e só irá alterar a escala da série, e não os padrões. É possível escrever qualquer modelo estacionário AR (p) como um modelo MA (infty). Por exemplo, usando a substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) amp phi12y phi1 e amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Provided -1 lt phi1 lt 1, o valor de phi1k será menor à medida que k for maior. Assim, eventualmente, obtemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, um processo MA (infty). O resultado inverso é válido se impomos algumas restrições nos parâmetros MA. Em seguida, o modelo MA é chamado invertible. Ou seja, que podemos escrever qualquer processo de MA (q) invertível como um processo AR (infty). Os modelos Invertible não nos permitem simplesmente converter modelos MA para modelos AR. Eles também têm algumas propriedades matemáticas que torná-los mais fáceis de usar na prática. As restrições de inversibilidade são semelhantes às restrições de estacionaridade. Para um modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para um modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condições mais complicadas mantêm-se para qge3. Novamente, R irá cuidar dessas restrições ao estimar os modelos.